数値解法(MAC法)

流体力学の基礎式

(1)

(2)

を少しかみくだいて数値計算できるようにする。なお、これ以降(2)式において外力aは、簡単のため省略する。

概略としては、

1. (1)式を(2)式に代入できるように(2)式の発散をとる。

2. (2)式の発散に(1)式を代入しての式にする。

3. の式に現在のを代入してを求める。

4. 求めたと現在のを(2)式に代入して次の時刻のを求める。

この手順を繰り返す。

まず(2)式の発散をとる。

と置いての式に変形すると

時間項を前進差分で近似すると

(ここでのnはn乗の意味ではなく、計算ステップが何ステップ目かという意味)

連続の式からはゼロのはずだが、実際には誤差が含まれていて正確にゼロにはならない。よってその誤差分を残し次ステップ分のだけをゼロとして計算する。よって式は

となる。ここで右辺第一項は非常に小さいので無視すると

この式の展開のために、まずだけを取り出して展開してみる。

   

   

   

   

       

           

   

       

           

ここでの微分は小さいので無視すると

   

これを元のの式に戻せば

(a)

これに現在のを代入して、それに対応するを求める。

次に、求めたと現在のを(2)式に代入して、次の時刻のを求める。

(2)式の時間項を前進差分で近似すると

の式に変形して

(b)

これを計算して次の時刻のを求める。求めたをまた(a)式に代入してを求める、という作業を繰り返す。

蛇足・・
ところで、運動量保存則から(2)式を導出した時点ですでに(1)式は(2)式に折込済みなのですが、ここでまた両式をカップリングしています。この様なスキームがどうして正当化できるのか、今の私には理解できておりません。が残っているので、数式操作的にはまったく同じ代入ではない、という事でしょうか?このへん、いつの日かきちんと理解したいものです。

HOME > 流体解析

Copyright(C) Since 2007 DeepDigital Co.,Ltd. All Rights Reserved.