差分化

数値解法のページで導いた(a)、(b)式が計算の基礎式となる。

(a)

(b)

これらの式を実際にコンピュータで計算できるように差分化する。

    前進差分は

    中央差分は

    後退差分は

    2階の中央差分は

を用いる。

は節点番号)

座標の扱いかたについて

MAC法では座標系にスタッガード格子を用いる。これは速度の節点の間に圧力の節点が来るようにしたものである。

図の様にセルの中心に圧力をとり、その両端に速度をとる。

この様な配置から、速度の前進差分をとるとちょうど圧力点の上での差分値となり、圧力は中央差分とすれば速度と圧力のつじつまが合う。

基礎式(a)(b)を差分化する。

(a)式を左辺も展開すると

これを差分化すると

   

       

   

               

ここでは節点番号がi番目という意味である。3次元の場合は節点番号はi,j,kの3種類あるので本当はと書くべきだが、見やすさのため、着目している節点番号だけ明記し他は省略している。

またここでのはあくまで圧力の節点上の話なのでを計算する時も圧力の節点の上に乗るように値をとらなければならない。

例えばは上図の青い丸で囲まれた4つのの平均をとり、は赤い丸で囲まれた4つのの平均をとる。も同様に平均値から計算する。平均値を用いた項を等で表すと

   

       

           

               

この様に計算した右辺をと置く。

   

これをの式に変形すると

   

この式は両辺にを含んでいるので1回では計算できない。よって全ての節点についてこの計算を行い、さらにそれを何度も繰り返すことによって序々に収束させる。十分に収束するまで計算を繰り返してを求める。


(b)式を差分化する。

   

まず成分について書き下すと

   

右辺のの値はすべて現在の値(nステップ目)である。

これを差分化すると

   

       

これはについての話であるので、式中に出てくるは、(a)式の時と同様にの周囲4つのの平均値を使う。についても同様である。

同様にについても

   

               

   

               

これらによって次のステップのを求める。この後はまた最初に帰ってを求め、また次のを求める。

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