これは本当に2.7182・・・・に収束するのでしょうか、「不思議な数eの物語」にならって計算してみます。
まずlimをはずして中身の展開を考えます。

展開するには2項公式というものを使います。2項公式とは、

といった展開公式です。

について見てみると、出てくる数字に法則性があります。

つまり、の指数だけを見てみると

3 2 1 0

の指数だけを見ると

0 1 2 3

と並んでいます。これを記号で書くと

で、は0→3まで動きます。

最初の項は、の時なので、

です。3乗以外の場合も考えれば

と書けます。

そして各項に掛かっている係数は

なのです。例えばの係数は=3、=1の場合だから

これでになります。

全体をまとめると

となります。

ここで分子ののしっぽの方はかなりに打消されるので、結局からの一つ手前までが残ることになります。よって係数は

と書けます。これを使ってを展開すると、

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

ここでlimを戻してを考えると

               

               

               

       

       

               


となり、最初の5項を足しただけでも2.7083・・・・になります。

これを無限に足せばきっと2.7182・・・・に収束する、ということで納得しましょう。

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