とは何なのか

は自然対数の底で、その値は2.7182・・・・となっています。そしてこれがひょっこり微分積分の公式なんかに現れたりします。なんか不思議風味満点の定数です。この数は何か宇宙の神秘でも表しているのでしょうか。

ということでについて勉強し直してみました。主な出展は「物理数学の直観的方法」と「不思議な数eの物語」です。

まず、いつ、誰によって作られたのか、という点ですが、これがはっきりしません。最古の痕跡としては、メソポタミア文明のころにはその存在は知られていたそうです。しかしその真の価値については微分が誕生してから再認識されたようです。

ではまずの定義は

が無限大になったとき、この値は2.7182・・・・に収束するのですが、その値にという名を付けた、という事でした。で、この定数はどうすごいのでしょうか。それを理解するには指数関数の微分から入らなければなりません。指数関数とは下図のような物です。

これを定義に従って微分します。

の値に応じての中はある値に収束するでしょう。その収束値をkとすれば

となり、指数関数を微分しても係数が掛かるだけで基本的に同じ形になるのでした。

ここでの値によってkはさまざまな値になり、その曲線も上図のようにさまざまな曲線になります。で、そのさまざまな曲線の中で、元のとぴったり同じになるものも当然あるでしょう。つまりk=1となる場合です。ここまで来ればk=1となる場合を突き止めてみよう、という事になります。

つまり

となるを突き止めるという事になります。

まず式変形のためにlimをはずします。

について解くと

これで→0に向った時の値がだから

ここでをhと置けば

となり、ある値に収束します。そしてこれにという名前を付けた、というわけです。

→ 2.7182・・・・ (=

この値を元の指数関数に戻してみれば

これが求めていた関数の姿です。そしてこれを微分しても

となってまったく変わりません。

これはつまりの値と、その場所での傾きが同じという事ですね。

おもしろいですね。(図はフリーハンドなのでちょっと歪んでますが。)

この性質のため指数関数の微分を考えるとき、関数が基軸となっているのです。これを基軸に人間が公式を整備したので、微積の公式にはが出てくるのでした。

は本当に2.7182・・・・に収束するか

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